Cinta - Acertijos matemáticos

Пример решения головоломки "Небоскребы"

Разбор головоломки https://en.grandgames.net/skyscrapers/id209502

В тексте разбора строки нумеруются сверху вниз, столбцы - слева направо. Аналогично нумеруются клетки в столбце и строке.

1. Два числа на нижней и правой границах равны 1 (эти числа обведены зеленым цветом). Это значит, что в соответствующих столбце и строке максимальное число, т.е. 6, должно стоять в самой нижней и самой правой клетках (эти клетки обведены красным). В противном случае с соответствующего края будет видно более одного небоскреба.
2. В первой строке число 6 может стоять только в третьей или четвертой клетке (обведены зеленым), так как во всех остальных столбцах верхний ряд чисел проставлен, и ни одно число не равно единице. Однако четвертый столбец уже содержит шестерку (обведена голубым), то есть число 6 должно стоять в третьей клетке (обведена красным). Аналогично в четвертой строке слева стоит число 4, то есть число 6 может находиться в четвертой, пятой или шестой клетке. Четвертый и шестой столбец уже содержат шестерки, так что число 6 должно стоят в пятой клетке.
3а. Рассмотрим третью строку. Число 6 может стоять в ней либо в первой, либо во второй клетке (блок обведен зеленым). Если предположить, что шестерка находится в первой клетке, то в шестой клетке должно находиться число 5, поскольку в любом другом случае с правого края строки будет видно больше двух небоскребов. Однако нахождение пятерки в этой клетке противоречит условию, заданному на верхнем крае шестого столбца. Если пятерка находится в его третьей клетке, то сверху может быть видно не более четырех небоскребов, а должно быть видно пять. Мы пришли к противоречию, и отсюда следует, что в третьей строке число 6 находится во второй клетке. На поле осталась единственная непроставленная шестерка, она должна находиться в первой клетке второй строки.
3б. Так как пятерка не может находиться в шестой клетке третьей строки по соображениям, указанным на предыдущем шаге, единственный вариант ее расположения в этой строке, позволяющий видеть с правого края два небоскреба, - это первая клетка. При этом в шестой клетке должно быть число 4, так как иначе справа будет видно больше двух небоскребов. Исходя из этого, для того, чтобы в шестом столбце сверху было видно пять небоскребов, в четвертой клетке должно стоять число 5.

4. Рассмотрим шестую строку. В ней уже проставлена шестерка, но не стоят числа 4 и 5. Для того, чтобы в клетке этой строки могло стоять число 4, соответствующее столбцу число небоскребов, видимых снизу, должно либо отсутствовать, либо быть равным 2 или 3, для числа 5 - отсутствовать либо быть равным 2. Число, соответствующее шестому столбцу, равно 2, но этот столбец уже содержит и четверку, и пятерку. Поскольку остается единственная клетка, в которую можно поместить число 5 (пятая) и две клетки, в которых может находиться число 4 (вторая и пятая), пятая клетка должна содержать пятерку, а вторая - четверку.
5. Рассмотрим третий столбец. Для того, чтобы снизу было видно пять небоскребов, число 5 должно находиться либо во второй, либо в третьей клетке. Так как третья строка уже содержит пятерку, число 5 должно стоять во второй клетке. Аналогично для второго столбца, для того, чтобы снизу было видно три небоскреба, число 5 может находиться только в пятой клетке, так как четвертая строка уже содержит пятерку, а в других случаях снизу будет видно только два небоскреба. На поле осталась единственная непроставленная пятерка, она должна находиться в четвертой клетке первой строки.
6. Рассмотрим снова третий столбец. Число 4 может стоять в нем только в четвертой клетке, так как третья строка уже содержит четверку, а в других случаях снизу будет видно не более четырех небоскребов.

7. Рассмотрим первую строку. В ней есть четыре незаполненные клетки. Две из них не могут содержать число 4, так как соответствующие столбцы уже содержат его. Пятая клетка не подходит, так как если четверка будет стоять в ней, то из-за взаимного расположения чисел 6 и 5 в пятом столбце сверху будет видно два небоскреба вместо трех. Таким образом, число 4 стоит в первой клетке.
8. Рассмотрим первый столбец. Так как снизу должно быть видно четыре небоскреба, число 3 может стоять либо в четвертой, либо в пятой клетке. Однако в четвертой клетке тройки быть не может, так как иначе в соответствующей строке слева будет видно три небоскреба вместо четырех. Таким образом, число 3 стоит в пятой клетке.
9. Рассмотрим третий столбец. В нем осталось три пустых клетки. Число 3 не может стоять в шестой клетке, так как тогда снизу будет видно четыре небоскреба вместо пяти, и не может стоять во пятой клетке, так как эта строка уже содержит тройку. Отсюда следует, что число 3 стоит в третьей клетке. Это позволяет однозначно расположить два оставшихся числа в этом столбце.

10. Рассмотрим шестую клетку первого столбца. Единственное число, которое можно поставить в эту клетку, - это число 2 (все остальные числа содержатся либо в соответствующей строке, либо в столбце). В шестой строке и первом столбце осталось по одной пустой клетке, которые легко заполнить.
11. Две пустых клетки шестого столбца могут быть заполнены единственным способом. Во втором столбце число 1 может стоять только во второй клетке, так как четвертая строка уже содержит единицу, а простановка единицы в первой клетке сделает видимыми три небоскреба вместо двух.
12. Во второй строке осталось две пустые клетки, которые должны содержать числа 3 и 4. Для того, чтобы справа было видно четыре небоскреба, правая клетка должная содержать число 4, а левая - число 3. На поле осталась единственная непроставленная четверка, которая должна находиться в четвертой клетке пятой строки.

13. В четвертом столбце осталось две пустых клетки. Число 1 можно разместить только в третьей клетке, так как четвертая строка уже содержит единицу. В третьей строке и четвертом столбце осталось по единственной пустой клетке, которые легко заполнить.
14. Четвертая и пятая строки содержат по единственной пустой клетке. После их заполнения очевидны числа, которые должны стоять в двух пустых клетках первой строки.
15. Головоломка решена!


См. также методику решения от @ovawiss: https://en.grandgames.net/post/441339

Как решать какуро

Разбор на примере головоломки https://en.grandgames.net/kakuro/id28269

1. При решении какуро стоит прежде всего обращать внимание на блоки, в которых комбинация цифр однозначно определена, так как именно от них легче всего начать строить цепочку. Например, если блок состоит из двух клеток, то число 16 означает, что одна из цифр - 7, а вторая - 9. Другая комбинация, не нарушающая правило единственности, невозможна.
Для блоков из двух клеток однозначные комбинации следующие: 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3, 16 = 7 + 9, 17 = 8 + 9.
Для блоков из трех клеток: 6 = 1 + 2 + 3, 7 = 1 + 2 + 4, 23 = 6 + 8 + 9, 24 = 7 + 8 + 9.
Для блоков из четырех клеток: 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 11 = 1 + 2 + 3 + 5, 29 = 5 + 7 + 8 + 9, 30 = 6 + 7 + 8 + 9.
Для блоков из пяти клеток: 15 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5, 16 = 1 + 2 + 3 + 4 + 6, 34 = 4 + 6 + 7 + 8 + 9, 35 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9.
На скрине выделены блоки с однозначной комбинацией цифр.

2. Рассмотрим блок из двух клеток с числом 16. Одна из его клеток общая с блоком из двух клеток с числом 9 (эта клетка обведена красным). Но 16 = 7 + 9, то есть девятка стоять в общей клетке не может. Отсюда следует, что в выделенной клетке стоит цифра 7, а во второй клетке (обведена желтым) - цифра 9.

3. Теперь однозначно определена вторая клетка блока 9: 2 = 9 - 7 (выделена красным). Это, в свою очередь, определяет незаполненную клетку блока 3: 1 = 3 - 2 (выделена желтым).

4. Рассмотрим блок из двух клеток с числом 17. Одна из его клеток (выделена красным) общая с блоком 21, который уже содержит цифру 9. Таким образом, общая клетка содержит цифру 8. Это однозначно определяет еще три клетки (выделены желтым).

5. Рассмотрим еще один блок из двух клеток с числом 17. Одна из его клеток общая с блоком из двух клеток с числом 9. 17 = 8 + 9, то есть общая клетка содержит цифру 8. Это, в свою очередь, определяет еще три клетки (выделены желтым).

6. Рассмотрим два соседних блока 35 = 5 + 6 + 7 + 8 + 9 и 30 = 6 + 7 + 8 + 9. Блок из двух клеток с числом 12 содержит по одной клетке из этих блоков. Число 12 можно разбить на две клетки следующими комбинациями: 12 = 3 + 9 = 4 + 8 = 5 + 7. Поскольку минимальная цифра, допустимая в блоке 35, - это 5, а в блоке 30 - 6, подходит только комбинация 5 + 7, причем 5 идет в блок 35, 7 - в блок 30.

7. Рассмотрим лежащий рядом блок из двух клеток с числом 13. Возможные комбинации следующие: 13 = 4 + 9 = 5 + 8 + 6 + 7. Поскольку пятерка в блоке 35 уже проставлена, может быть выбрана только комбинация 6 + 7. Блок 30 уже содержит семерку, то есть 6 идет в блок 30, 7 - в блок 35.

8. Аналогично рассмотрим блок из двух клеток с числом 15. Возможные комбинации следующие: 15 = 6 + 9 = 7 + 8. Семерка уже содержится и в блоке 30, и в блоке 35, так что необходимо рассматривать комбинацию 6 + 9. Блок 30 уже содержит шестерку, то есть 6 идет в блок 35, 9 - в блок 30. Это однозначно определяет еще три клетки (выделены желтым).

9. Рассмотрим блок из шести клеток с числом 28. Три уже заполненные клетки оставляют только одну возможную комбинацию для трех других: 1 + 3 + 5. При этом этот блок имеет общую клетку с блоком из четырех клеток с числом 29. Поскольку 29 = 5 + 7 + 8 + 9, общая клетка этих блоков может содержать только 5.

10. У блока 28 осталось две пустых клетки, которые должны содержать 1 и 3. Рассмотрим клетку, которая общая у этого блока с блоком из четырех клеток с числом 11. Так как в этом блоке уже заполнены 2 и 3, общая клетка может содержать только 1. Это однозначно определяет еще две клетки (выделены желтым).

11. Рассмотрим блок из двух клеток с числом 12. Одна из его клеток принадлежит блоку из четырех клеток с числом 11 и может содержать 1, 2 или 5. Ни единица, ни двойка не могут быть правильными цифрами, так как второе число будет больше девяти. Отсюда следует, что рассматриваемая клетка содержит 5, а вторая цифра блока - 7.

12. Аналогично рассмотрим блок из двух клеток с числом 11. Одна из его клеток принадлежит блоку 11 и может содержать 1 или 2, но поскольку единица требует 10 во второй клетке, остается только 2. Оставшиеся три пустые клетки теперь определены однозначно.

13. Головоломка решена!